九章算术

卷八

更新时间:2021-03-04 05:30:52

  术曰:如方程。以正负术入之。

  今有五羊,四犬,三鸡,二兔,直钱一千四百九十六;四羊,二犬,六鸡, 三兔,直钱一千一百七十五;三羊,一犬,七鸡,五兔,直钱九百五十八;二羊, 三犬,五鸡,一兔,直钱八百六十一。问羊、犬、鸡、兔价各几何?答曰:羊价 一百七十七。犬价一百二十一。鸡价二十三。兔价二十九。

  术曰:如方程。以正负术入之。

  今有麻九斗,麦七斗,菽三斗,荅二斗,黍五斗,直钱一百四十;麻七斗, 麦六斗,菽四斗,荅五斗,黍三斗,直钱一百二十八;麻三斗,麦五斗,菽七斗, 荅六斗,黍四斗,直钱一百一十六;麻二斗,麦五斗,菽三斗,荅九斗,黍四斗, 直钱一百一十二;麻一斗,麦三斗,菽二斗,荅八斗,黍五斗,直钱九十五。问 一斗直几何?荅曰:麻一斗七钱。麦一斗四钱。菽一斗三钱。荅一斗五钱。黍一 斗六钱。

  术曰:如方程。以正负术入之。

  〔此麻麦与均输、少广之章重衰、积分皆为大事。其拙于精理徒按本术者, 或用算而布毡,方好烦而喜误,曾不知其非,反欲以多为贵。故其算也,莫不暗 于设通而专于一端。至于此类,苟务其成,然或失之,不可谓要约。更有异术者, 庖丁解牛,游刃理间,故能历久其刃如新。夫数,犹刃也,易简用之则动中庖丁 之理。故能和神爱刃,速而寡尤。凡九章为大事,按法皆不尽一百算也。虽布算 不多,然足以算多。世人多以方程为难,或尽布算之象在缀正负而已,未暇以论 其设动无方,斯胶柱调瑟之类。聊复恢演,为作新术,著之于此,将亦启导疑意。

  网罗道精,岂传之空言?记其施用之例,著策之数,每举一隅焉。

  方程新术曰:以正负术入之。令左、右相减,先去下实,又转去物位,则其 求一行二物正负相借者,是其相当之率。又令二物与他行互相去取,转其二物相 借之数,即皆相当之率也。各据二物相当之率,对易其数,即各当之率也。更置 成行及其下实,各以其物本率今有之,求其所同。并,以为法。其当相并而行中 正负杂者,同名相从,异名相消,余,以为法。以下置为实。实如法,即合所问 也。一物各以本率今有之,即皆合所问也。率不通者,齐之。

  其一术曰:置群物通率为列衰。更置成行群物之数,各以其率乘之,并,以 为法。其当相并而行中正负杂者,同名相从,异名相消,余为法。以成行下实乘 列衰,各自为实。实如法而一,即得。

  以旧术为之。凡应置五行。今欲要约,先置第三行,减以第四行,又减第五 行;次置第二行,以第二行减第一行,又减第四行。去其头位;余,可半;次置 右行及第二行。去其头位;次以右行去第四行头位,次以左行去第二行头位,次 以第五行去第一行头位;次以第二行去第四行头位;余,可半;以右行去第二行 头位,以第二行去第四行头位。余,约之为法、实。实如法而一,得六,即有黍 价。以法治第二行,得荅价,右行得菽价,左行得麦价,第三行麻价。如此凡用 七十七算。

  以新术为此。先以第四行减第三行;次以第三行去右行及第二行、第四行下 位,又以减左行下位,不足减乃止;次以左行减第三行下位,次以第三行去左行 下位。讫,废去第三行。次以第四行去左行下位,又以减右行下位;次以右行去 第二行及第四行下位;次以第二行减第四行及左行头位;次以第四行减左行菽位, 不足减乃止;次以左行减第二行头位,余,可再半;次以第四行去左行及第二行 头位,次以第二行去左行头位,余,约之,上得五,下得三,是菽五当荅;次以 左行去第二行菽位,又以减第四行及右行菽位,不足减乃止;次以右行减第二行 头位,不足减乃止;次以第二行去右行头位,次以左行去右行头位;余,上得六, 下得五,是为荅六当黍五;次以左行去右行荅位,余,约之,上为二,下为一; 次以右行去第二行下位,以第二行去第四行下位,又以减左行下位;次,左行去 第二行下位,余,上得三,下得四,是为麦三当菽四;次以第二行减第四行下位; 次以第四行去第二行下位;余,上得四,下得七,是为麻四当麦七。是为相当之 率举矣。据麻四当麦七,即麻价率七而麦价率四;又麦三当菽四,即为麦价率四 而菽价率三;又菽五当荅三,即为菽价率三而荅价率五;又荅六当黍五,即为荅 价率五而黍价率六;而率通矣。更置第三行,以第四行减之,余有麻一斗,菽四 斗正,荅三斗负,下实四正。求其同为麻之数,以菽率三、荅率五各乘其斗数, 如麻率七而一,菽得一斗七分斗之五正,荅得二斗七分斗之一负。则菽、荅化为 麻。以并之,令同名相从,异名相消,余得定麻七分斗之四,以为法。置四为实, 而分母乘之,实得二十八,而分子化为法矣以法除得七,即麻一斗之价。置麦率 四、菽率三、荅率五、黍率六,皆以麻乘之,各自为实。以麻率七为法。所得即 各为价。亦可使置本行实与物同通之,各以本率今有之,求其本率所得。并, 以为法。如此,即无正负之异矣,择异同而已。又可以一术为之。置五行通率, 为麻七、麦四、菽三、荅五、黍六,以为列衰。成行麻一斗,菽四斗正,荅三斗 负,各以其率乘之。讫,令同名相从,异名相消,余为法。又置下实乘列衰,所 得各为实。此可以置约法,则不复乘列衰,各以列衰为价。如此则凡用一百二十 四算也。〕

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