九章算术

卷一

更新时间:2021-03-04 05:30:08

  故求圆锥之数,折径以乘下周之半,即圆锥之幂也。今宛田上径圆穹,而与圆锥 同术,则幂失之于少矣。然其术难用,故略举大较,施之大广田也。求圆锥之幂, 犹求圆田之幂也。今用两全相乘,故以四为法,除之,亦如圆田矣。开立圆术说 圆方诸率甚备,可以验此。〕 今有弧田,弦二十步,矢十五步。问为田几何?答曰:一亩九十七步半。

  又有弧田,弦七十八步二分步之一,矢十三步九分步之七。问为田几何?答 曰:二亩一百五十五步八十一分步之五十六。

  术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一。

  〔方中之圆,圆里十二觚之幂,合外方之幂四分之三也。中方合外方之半, 则朱青合外方四分之一也。弧田,半圆之幂也。故依半圆之体而为之术。以弦乘 矢而半之,则为黄幂,矢自乘而半之,则为二青幂。青、黄相连为弧体,弧体法 当应规。今觚面不至外畔,失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率,俱得十二觚 之幂,亦失之于少也,与此相似。指验半圆之幂耳。若不满半圆者,益复疏阔。

  宜句股锯圆材之术,以弧弦为锯道长,以矢为锯深,而求其径。既知圆径,则弧 可割分也。割之者,半弧田之弦以为股,其矢为句,为之求弦,即小弧之弦也。

  以半小弧之弦为句,半圆径为弦,为之求股。以减半径,其余即小弦之矢也。割 之又割,使至极细。但举弦、矢相乘之数,则必近密率矣。然于算数差繁,必欲 有所寻究也。若但度田,取其大数,旧术为约耳。〕 今有环田,中周九十二步,外周一百二十二步,径五步。

  〔此欲令与周三径一之率相应,故言径五步也。据中、外周,以徽术言之, 当径四步一百五十七分步之一百二十二也。

  淳风等按:依密率,合径四步二十二分步之十七。〕 问为田几何?答曰:二亩五十五步。

  〔于徽术,当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三。

  淳风等按:依密率,为田二亩三十步二十二分步之十五。〕 术曰:并中、外周而半之,以径乘之,为积步。

  〔此田截而中之周则为长。并而半之知,亦以盈补虚也。此可令中、外周各 自为圆田,以中圆减外圆,余则环实也。〕 又有环田,中周六十二步四分步之三,外周一百一十三步二分步之一,径十 二步三分步之二。

  〔此田环而不通匝,故径十二步三分步之二。若据上周求径者,此径失之于 多,过周三径一之率,盖为疏矣。于徽术,当径八步六百二十八分步之五十一。

  淳风等按:依周三径一考之,合径八步二十四分步之一十一。依密率,合径 八步一百七十六分步之一十三。〕 问为田几何?答曰:四亩一百五十六步四分步之一。

  〔于徽术,当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。依周 三径一,为田三亩二十五步六十四分步之二十五。

  淳风等按:密率,为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。〕 术曰:置中、外周步数,分母子各居其下。母互乘子,通全步内分子。以中 周减外周,余半之,以益中周。径亦通分内子,以乘周为实。分母相乘为法。除 之为积步。余,积步之分。以亩法除之,即亩数也。

  〔按:此术,并中、外周步数于上,分母子于下,母互乘子者,为中外周俱 有余分,故以互乘齐其子,母相乘同其母。子齐母同,故通全步,内分子。半之 知,以盈补虚,得中平之周。周则为从,径则为广,故广从相乘而得其积。既合 分母,还须分母出之。故令周、径分母相乘而连除之,即得积步。不尽,以等数 除之而命分。以亩法除积步,得亩数也。〕

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