九章算术

卷一

更新时间:2021-03-04 05:30:08

  又有箕田,舌广一百一十七步,踵广五十步,正从一百三十五步,问为田几 何?答曰:四十六亩二百三十二步半。

  术曰:并踵、舌而半之,以乘正从。亩法而一。

  〔中分箕田则为两邪田,故其术相似。又可并踵、舌,半正从,以乘之。〕 今有圆田,周三十步,径十步。

  〔淳风等按:术意以周三径一为率,周三十步,合径十步。今依密率,合径 九步十一分步之六。〕 问为田几何?答曰:七十五步。

  〔此于徽术,当为田七十一步一百五十七分步之一百三。

  淳风等按:依密率,为田七十一步二十三分步之一十三。〕 又有圆田,周一百八十一步,径六十步三分步之一。

  〔淳风等按:周三径一,周一百八十一步,径六十步三分步之一。依密率, 径五十七步二十二分步之一十三。〕 问为田几何?答曰:十一亩九十步十二分步之一。

  〔此于徽术,当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百十三。

  淳风等按:依密率,当为田十亩二百五步八十八分步之八十七。〕 术曰:半周半径相乘得积步。

  〔按:半周为从,半径为广,故广从相乘为积步也。假令圆径二尺,圆中容 六觚之一面,与圆径之半,其数均等。合径率一而外周率三也。

  又按:为图,以六觚之一面乘一弧半径,三之,得十二觚之幂。若又割之, 次以十二觚之一面乘一弧之半径,六之,则得二十四觚之幂。割之弥细,所失弥 少。割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。觚面之外,又有余径。

  以面乘余径,则幂出觚表。若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径。表无余径, 则幂不外出矣。以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。

  此一周、径,谓至然之数,非周三径一之率也。周三者,从其六觚之环耳。以推 圆规多少之觉,乃弓之与弦也。然世传此法,莫肯精核;学者踵古,习 其谬失。

  不有明据,辩之斯难。凡物类形象,不圆则方。方圆之率,诚著于近,则虽远可 知也。由此言之,其用博矣。谨按图验,更造密率。恐空设法,数昧而难譬,故 置诸检括,谨详其记注焉。

  割六觚以为十二觚术曰:置圆径二尺,半之为一尺,即圆里觚之面也。令 半径一尺为弦,半面五寸为句,为之求股。以句幂二十五寸减弦幂,余七十五寸, 开方除之,下至秒、忽。又一退法,求其微数。微数无名知以为分子,以十为分 母,约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。以减半径,余 一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三,谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之 求弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽,余分弃之。

  开方除之,即十二觚之一面也。

  割十二觚以为二十四觚术曰:亦令半径为弦,半面为句,为之求股。置上 小弦幂,四而一,得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽,余分弃之, 即句幂也。以减弦幂,其余开方除之,得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之 四。以减半径,余三分四厘七秒四忽五分忽之一,谓之小句。觚之半面又谓之小 股。为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽,余分 弃之。开方除之,即二十四觚之一面也。

  割二十四觚以为四十八觚术曰:亦令半径为弦,半面为句,为之求股。置上 小弦幕,四而一,得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽,余分弃之,即 句幂也。以减弦幂,其余,开方除之,得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之 四。以减半径,余八厘五毫五秒五忽五分忽之一,谓之小句。觚之半面又谓之小 股。为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽,余分弃之。

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