清史稿

志·卷二十一

更新时间:2021-03-03 12:04:55

  时宪二

  △推步算术

  推步新法所用者,曰平三角形,曰弧三角形,曰橢圆形。今撮其大旨,证立法之原,验用数之实,都为一十六术,著於篇。

  平三角形者,三直线相遇而成。其线为边,两线所夹空处为角。有正角,当全圆四分之一,如甲乙丙形之甲角。有锐角,不足四分之一,如乙、丙两角。有钝角,过四分之一,如丁戊己形之戊角。图形尚无资料

  角之度无论多寡,皆有其相当之八线。曰正弦、正矢、正割、正切,所有度与九十度相减馀度之四线也,如甲乙为本度,则丙乙为馀度。正弦乙戊,正矢甲戊,正割庚丁,正切庚甲,馀弦乙己,馀矢丙己,馀割辛丁,馀切辛丙。若壬癸为本度,则丑癸为馀度,正弦癸辰,正矢壬辰,馀弦癸卯,馀矢丑卯,馀割子寅,馀切丑寅。以壬癸过九十度无正割、正切,借癸午之子未为正割,午未为正切。若正九十度丑壬为本度,则无馀度,丑子半径为正弦,壬子半径为正矢,亦无正割、正切,并无馀弦、馀矢、馀割、馀切。

  古定全圆周为三百六十度,四分之一称一象限,为九十度。每度六十分,每分六十秒,每秒六十微。圆半径为十万,后改千万。逐度逐分求其八线,备列於表。推算三角,在九十度内,欲用某度某线,就表取之,算得某线。欲知某度,就表对之。过九十度者,欲用正弦、正割、正切及四馀,以其度与半周相减馀,就表取之。欲用正矢,取馀弦加半径为之。既得某线,欲知某度,就表对得其度与半周相减馀命之。

  图形尚无资料

  算平三角凡五术:

  一曰对边求对角,以所知边为一率,对角正弦为二率,所知又一边为三率,二三相乘,一率除之,求得四率,为所不知之对角正弦。如图甲乙为所知边,丁角为所知对角,乙丁为所知又一边,甲角为所不知对角也。此其理系两次比例省为一次。如图乙丁为半径之比,乙丙为丁角正弦之比。法当先以半径为一率,丁角正弦为二率,乙丁为三率,求得四率中垂线乙丙。既得乙丙,甲乙为半径之比,乙丙又为甲角正弦之比。乃以甲乙为一率,乙丙为二率,半径为三率,求得四率,自为甲角正弦。然后合而算之,以先之一率半径与后之一率甲乙相乘为共一率,先之二率丁角正弦与后之二率乙丙相乘为共二率,先之三率乙丁与后之三率半径相乘为共三率,求得四率,自为先之四率乙丙与后之四率甲角正弦相乘数,仍当以乙丙除之,乃得甲角正弦。后既当除,不如先之勿乘。共二率内之乙丙与三率相乘者也,乘除相报,乙丙宜省。又共三率内之半径与二率相乘者也,共一率内之半径又主除之,乘除相报,半径又宜省。故径以甲乙为一率,丁角正弦为二率,乙丁为三率,求得四率,为甲角正弦。

  二曰对角求对边,以所知角正弦为一率,对边为二率,所知又一角正弦为三率,求得四率,为所不知对边。此其理具对边求对角,反观自明。

  三曰两边夹一角求不知之二角,以所知角旁两边相加为一率,相减馀为二率,所知角与半周相减,馀为外角,半之,取其正切为三率,求得四率,为半较角正切。对表得度,与半外角相加,为对所知角旁略大边之角;相减,馀为对所知角旁略小边之角。此其理一在平三角形。三角相并,必共成半周。如图甲乙丙形,中垂线甲丁,分为两正角形。正角为长方之半,长方四角皆正九十度,正角形两锐角斜剖长方,此角过九十度之半几何,彼角不足九十度之半亦几何,一线径过,其势然也。故甲右边分角必与乙角合为九十度,甲左边分角必与丙角合为九十度。论正角形各加丁角,皆成半周,合为锐角形。除去丁角,三角合亦自为半周。故既知一角之外,其馀二角虽不知各得几何度分,必知其共得此角减半周之馀也。一在三角同式形比例。如图丙庚戊形,知丙庚、丙戊两边及丙角。展丙庚为丙甲,连丙戊为甲戊,两边相加。截丙戊於丙丁,为戊丁,两边相减馀。作庚丁虚线,丙庚、丙丁同长,庚丁向圆内二角必同度,是皆为丙角之半外角,与甲辛、辛庚之度等。而庚向圆外之角,即本形庚角大於戊角之半,是为半外角。以庚丁为半径之比,则甲庚即为丁半外角正切之比。半径与正切恒为正角,甲庚与庚丁圆内作两通弦,亦无不成正角故也。又作丁己线,与甲庚平行,庚丁仍为半径之比,丁己又为庚向圆外半较角正切之比。而戊甲庚大形与戊丁己小形,戊甲、戊丁既在一线,甲庚、丁己又系平行,自然同式。故甲戊两边相加为一率,戊丁两边相减馀为二率,甲庚半外角正切为三率,求得四率,自当丁己半较角正切也。

  四曰两角夹一边求不知之一角,以所知两角相并,与半周相减,馀即得。此其理具两边夹一角。

  五曰三边求角,以大边为底,中、小二边相并相减,两数相乘,大边除之,得数与大边相加折半为分底大边,相减馀折半为分底小边。乃以中边为一率,分底大边为二率,半径为三率,求得四率,为对小边角馀弦。或以小边为一率,分底小边为二率,半径为三率,求得四率,为对中边角馀弦。此其理在勾股弦幂相求及两方幂相较。如图甲丙中边、甲乙小边皆为弦,乙丙大边由丁分之,丁丙、丁乙皆为勾,中垂线甲丁为股。勾股幂相并恒为弦幂,今甲丁股既两形所同,则甲丙大弦幂多於甲乙小弦幂,即同丙丁大勾幂多於乙丁小勾幂。又两方幂相较,恒如两方根和较相乘之数。如图戊寅壬庚为大方幂,减去己卯辛庚小方幂,馀戊己卯辛壬寅曲矩形。移卯癸壬辛为癸寅丑子,成一直方形,其长戊丑,自为大方根戊寅、小方根卯辛之和;其阔戊己,自为大方根戊庚、小方根己庚之较。故甲乙丙形,甲丙、甲乙相加为和,相减为较。两数相乘,即如丙丁、丁乙和较相乘之数。丙乙除之,自得其较。丙午相加相减各折半,自得丙丁及乙丁,既得丙丁、乙丁,各以丙甲、乙甲为半径之比,丙丁、乙丁自为馀弦之比矣。

  此五术者,有四不待算,一不可算。对边求对角,令所知两边相等,则所求角与所知角必相等。对角求对边,令所知两角相等,则所求边与所知边必相等。两边夹一角,令所知两边相等,则所求二角必正得所知外角之半。三边求角,令二边相等,即分不等者之半为底边;三边相等,即平分半周三角皆六十度,皆不待算也。若对边求对角,所知一边数少,对所知一角锐;又所知一边数多,求所对之角,不能知其为锐、为钝,是不可算也。诸题求边角未尽者,互按得之。

  弧三角形者,三圆周相遇而成,其边亦以度计。九十度为足,少於九十度为小,过九十度为大。其角锐、钝、正与平三角等。算术有七:

  一曰对边求对角,以所知边正弦为一率,对角正弦为二率,所知又一边正弦为三率,求得四率,为所求对角正弦。此其理亦系两次比例省为一次。如图甲乙丙形,知甲乙、丙乙二边及丙角,求甲角。作乙辛垂弧,半径与丙角正弦之比,同於乙丙正弦与乙辛正弦之比。法当以半径为一率,丙角正弦为二率,乙丙正弦为三率,求得四率,为乙辛正弦。既得乙辛正弦,甲乙正弦与乙辛正弦之比,同於半径与甲角正弦之比。乃以甲乙正弦为一率,乙辛正弦为二率,半径为三率,求得四率,为甲角正弦。然乘除相报,可省省之。

  二曰对角求对边,以所知角正弦为一率,对边正弦为二率,所知又一角正弦为三率,求得四率,为所求对边正弦。此其理反观自明。

  三曰两边夹一角,或锐或钝,求不知之一边。以半径为一率,所知角馀弦为二率,任以所知一边正切为三率,求得四率,命为正切。对表得度,与所知又一边相减,馀为分边。乃以前得度馀弦为一率,先用边馀弦为二率,分边馀弦为三率,求得四率,为不知之边馀弦。原角钝,分边大,此边小;分边小,此边大。原角锐,分边小,此边小;分边大,此边大。此其理系三次比例省为二次。如图甲丙丁形,知甲丙、甲丁二边及甲角,中作垂弧丙乙,半径与甲角馀弦之比,同於甲丙正切与甲乙正切之比。先一算为易明。既分甲丁於乙,而得丁乙分边,甲乙馀弦与半径之比,同於甲丙馀弦与丙乙馀弦之比。法当先以甲乙馀弦为一率,半径为二率,甲丙馀弦为三率,求得四率,为丙乙馀弦。既得丙乙馀弦,半径与乙丁馀弦之比,同於丙乙馀弦与丁丙馀弦之比。乃以半径为一率,乙丁馀弦为二率,丙乙馀弦为三率,求得四率,为丁丙馀弦。然而乘除相报,故从省。两边夹一角若正,则径以所知两边馀弦相乘半径除之,即得不知边之馀弦,理自明也。所知两边俱大俱小,此边小;所知两边一小一大,此边大。

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